Методическое пособие по теории вероятности для студентов

Методическое пособие «Основы теории вероятностей и математической статистики»

Разделы: Математика

1. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1.1. Основные понятия комбинаторики
1.2. Решение комбинаторных задач
1.3. Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события
1.4. Классическое определение вероятности
1.5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
1.6. Теорема умножения вероятностей независимых событий

2. Случайная величина, ее функция распределения

2.1. Случайная величина, способы ее задания
2.2. Дискретная и непрерывная случайные величины
2.3. Закон распределения случайной величины
2.4. Биномиальное распределение

3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
3.2. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины.

4. Практические задания для самоконтроля
5. Ответы
Список литературы

Введение

Многие вещи нам непонятны не
потому, что наши понятия слабы;
но потому, что сии вещи не входят
в круг наших понятий.
Козьма Прутков

Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, для умения выполнять практические расчеты, для формирования и развития логического мышления.
В данной работе последовательно вводятся все базовые понятия раздела математики «Основы теории вероятностей и математической статистики», предусмотренные программой и Государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования (Министерство образования Российской Федерации. М., 2002г.), формулируются основные теоремы, большая часть которых не доказывается. Рассматриваются основные задачи и методы их решения и технологии применения этих методов к решению практических задач. Изложение сопровождается подробными комментариями и многочисленными примерами.
Методические указания могут быть использованы для первичного ознакомления с изучаемым материалом, при конспектировании лекций, для подготовки к практическим занятиям, для закрепления полученных знаний, умений и навыков. Кроме того, пособие будет полезно и студентам- старшекурсникам как справочное пособие, позволяющее быстро восстановить в памяти то, что было изучено ранее.
В конце работы приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.
Методические указания предназначены для студентов заочной и дневной форм обучения.

Основные понятия

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира.
В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая.
Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить.
Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.
Математическая статистика- это раздел математики, который имеет своим предметом изучения методов сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.
При этом под статистическими данными понимается совокупность чисел, которые представляют количественные характеристики интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические данные получаются в результате специально поставленных опытов, наблюдений.
Статистические данные по своей сущности зависят от многих случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.

Регион РФ: Москва

Год публикации: 2009

Библиографическая ссылка:: Самаров К.Л. Математика. Учебно-методическое пособие для студентов по разделу «Теория вероятностей». — М.: Учебный центр «Резольвента», 2009. — 39 с.

Для того, чтобы оценить ресурс, необходимо авторизоваться.

Учебно-методическое пособие для студентов, разработанное в Учебном центре «Резольвента». В пособии рассмотрены следующие вопросы: 1. Случайные события. Классическое определение вероятности; 2. Операции над случайными событиями; 3. Комбинаторные формулы; 4. Геометрическое определение вероятности; 5. Вероятность суммы двух событий. Несовместность событий; 6. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения двух событий. Формулы полной вероятности и Байеса; 7. Серия независимых испытаний Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона; 8. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Независимость случайных величин; 9. Основные виды распределений дискретных случайных величин; 10. Непрерывные случайные величины и их характеристики; 11. Основные виды распределений непрерывных случайных величин; 12. Совместное распределение двух случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции; 13. Примеры; 14. Вероятностные таблицы. Приведены вопросы для самоконтроля и задания для самостоятельной работы.

Тырсин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие

Челябинск: Челябинский государственный университет, 2007. — 209 с. В учебном пособии раскрыты основные разделы курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Изложение теоретического материала сопровождается многочисленными иллюстративными примерами. Предназначается студентам экономических и управленческих специальностей, а также специальности «Прикладная информатика».

Содержание:
Введение
Глава
1. События и их вероятности
1.1. Определение понятия «вероятность»
1.2. Конечное вероятностное пространство
1.3. Случайные события
1.4. Операции над событиями
1.5. Простейшие свойства вероятностей
1.6. Классическое определение вероятности
1.6.1. Элементы комбинаторики
1.7. Геометрическая вероятность
1.8. Условные вероятности
1.9. Формула полной вероятности и формула Байеса
1.10. Независимость событий
1.11. Статистическая независимость
Глава
2. Дискретные случайные величины
2.1. Счетное вероятностное пространство
2.2. Дискретные случайные величины
2.3. Схема Бернулли
2.4. Математическое ожидание
2.5. Общие свойства математического ожидания
2.6. Дисперсия случайной величины
2.7. Общие свойства дисперсии
2.8. Индикаторы событий
2.9. Независимость случайных величин
2.10. Некоррелированность случайных величин
2.11. Предельные теоремы для схемы Бернулли
2.12. Неравенства Чебышева
2.13. Теорема Чебышева
Глава
3. Общие случайные величины
3.1. Общее определение вероятностного пространства
3.2. Случайные величины (общий случай)
3.3. Непрерывные случайные величины
3.4. Числовые характеристики абсолютно непрерывной случайной величины
3.5. Нормальное распределение
Глава
4. Совместное распределение случайных величин
4.1. Совместная функция и плотность распределения
4.2. Математическое ожидание функции от случайных величин
4.3. Независимость случайных величин
4.4. О некоррелированных зависимых случайных величинах
4.5. Преобразования случайных величин
4.6. Многомерное нормальное распределение
Глава
5. Предельные законы теории вероятностей
5.1. Закон больших чисел
5.2. Центральная предельная теорема
Глава
6. Цепи Маркова
6.1. Основные понятия теории марковских цепей
6.2. Теорема о предельных вероятностях
6.3. Области применения цепей Маркова
Глава
7. Основы выборочного метода
7.1. Общие сведения о выборочном методе
7.2. Вариационные ряды и их характеристики
7.3. Понятие оценки параметров
7.4. Оценка функций распределения и плотности
Глава
8. Точечные и интервальные оценки параметров распределений
8.1. Методы построения точечных оценок
8.2. Неравенство Рао–Крамера–Фреше
8.3. Интервальные оценки числовых характеристик случайных величин
Глава
9. Проверка статистических гипотез
9.1. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки
9.2. Критерии согласия
9.3. Критерии однородности
9.4. Гипотезы о числовых характеристиках случайных величин
9.5. Проверка гипотез о стохастической независимости элементов выборки
Глава
10. Дисперсионный анализ
10.1. Основные понятия дисперсионного анализа
10.2. Однофакторный дисперсионный анализ
10.3. Понятие о многофакторном дисперсионном анализе
Глава
11. Корреляционный анализ
11.1. Типы признаков и их классификация
11.2. Виды зависимостей между количественными переменными
11.3. Анализ парных статистических связей между количественными переменными
11.4. Анализ множественных количественных связей
11.5. Ранговая корреляция
Глава
12. Регрессионный анализ
12.1. Основные положения регрессионного анализа
12.2. Парная линейная регрессионная модель
12.3. Общий случай регрессии
Задачи для самостоятельной работы
Ответы к задачам для самостоятельной работы
Контрольная работа
Вопросы для самоконтроля
Тест для самоконтроля
Вопросы теста
Ответы на тест
Список литературы
Приложение. Таблицы функций

Методическая разработка на тему:
Mетодическое пособие по «Теории вероятностей и математической статистике». Примеры решения задач.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Тема урока «Применение методов математической статистики и теории вероятностей в задачах теоретической лингвистики при анализе устной и звучащей речи на русском языке».Цели урока:образовательные: науч.

Программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для специальности «Программирование в компьютерных системах» составлена в соответствии с ФГОС нового поколения.

Рабочая программа составлена на основе ФГОС СПО и учебного плана филиала МГТУ в поселке Яблоновском по специальности 09.02.03 «Программирование в компьютерных системах». Общая трудоемкость дисциплины .

Настоящее методическое пособие подготовлено по разделу «Случайные события» дисциплины ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика. Методическое пособие полностью соответствует требованиям го.

Методические указания составлены в соответствии с ФГОС СПО, календарно-тематическим планом и программой дисциплины ОП.02 Теория вероятностей и математическая статистика для студентов специальнос.

В презентации рассматривается решение задачи линейного программирования симплекс-методом. В процессе решения задача приводится к каноническому виду и вводятся искуственные переменные. Решение осуществ.

Основные понятия теории вероятностей. Методическое пособие для заочного отделения

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Основные понятия теории вероятностей. Методическое пособие для заочного отделения Издание второе, дополненное С О С Т А В И Л И : Сметанин Ю.М., к.ф.-м.н., доцент Сметанина Л.П., к.т.н., доцент Бадаш Е.Х., ст. преподаватель Ижевск 004

2 «УТВЕРЖДАЮ» Зам. директора ИЭиУ По учебно-методической работе А.С. Баскин 004 г. Методическое пособие содержит основные положения теории вероятностей, которые разъясняются на примерах и задания для контрольной работы. Предназначены для студентов заочной формы обучения ИЭиУ, а также для студентов экономических специальностей филиалов ГОУ ВПО «УдГУ». Составители Сметанин Ю.М., Сметанина Л.П, Бадаш Е.Х. Ижевск; Институт экономики и управления ГОУ ВПО «УдГУ», 004, 40 с. Ю.М. Сметанин, Л.П. Сметанина, Бадаш Е.Х. 004 ИЭиУ УдГУ 004

3 . Элементы комбинаторики. Основная задача комбинаторики пересчет и перечисление элементов в конечных множествах. Основные правила комбинаторики правила суммы и произведения. Правило суммы. Если два действия взаимно исключают друг друга, причем, одно из них можно выполнить m способами, а другое n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно n+m способами. Правило легко распространить на любое конечное число действий. Правило произведения. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то k действий. Если первое действие можно выполнить n способами, второе действие n способами, третье n 3 способами, и так до k-го действия, которое можно выполнить n k способами, то все k действий могут быть выполнены n *n *n 3 * *n k способами. Задача. Необходимо составить варианты контрольной работы, каждый из которых должен содержать три задачи. Одна задача выбирается из любого параграфа I главы сборника задач, вторая из любого параграфа II главы, а последняя — из любого параграфа III главы. При этом следует учесть, что I и III главы содержат по два параграфа, а II глава три параграфа. Сколько видов контрольной работы можно составить из этих условий, если вид работы определяется только номерами параграфов, из которых выбраны задачи? Пусть каждой задаче соответствует двузначное число, где первая цифра соответствует номеру выбранной главы, а вторая номеру параграфа. Чтобы не допустить ошибки при подсчете, воспользуемся специальным графом, который иногда называют деревом. Начальную точку обозначим буквой О. Двигаясь всеми возможными путями по ребрам слева направо, начиная с точки О, получим различных видов контрольных работ О Первая задача Вторая задача Третья задача Виды контрольной работы 3

Другие публикации:  Судебные расходы банкротство

4 Задача. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами можно это сделать? Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, то есть существует 30 способов выбора старосты. После того, как староста уже выбран, профоргом можно выбрать любого из оставшихся 9 учащихся. Таким образом одному способу выбора старосты соответствуют 9 способов выбора профорга. Следовательно, общее число способов выбора старосты и профорга равно 30 9=870. Задача 3. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки на места с нечетными номерами. Сколькими способами можно это сделать? Первый мальчик может сесть на любое из четырех мест, второй на любое из оставшихся трех мест, а третий на любое из оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять четыре места 4 3 =4 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 4 4=576 способами. Задача 4. Имеется 0 изделий -го сорта и 30 изделий -го сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколько способов выбора двух изделий возможно в данной ситуации, если учитывать порядок выбора изделий? Условимся первым действием считать выбор изделий -го сорта, вторым выбор изделий -го сорта. По правилу умножения два изделия -го сорта можно выбрать 0 9=380 способами. Аналогично, два изделия -го сорта можно выбрать 30 9=870 способами. Согласно условию задачи следует выбрать два изделия одного сорта, неважно какого. Это могут быть либо изделия -го сорта, либо изделия -го сорта. Таким образом, должно быть выполнено либо первое действие, либо второе. Эти действия не могут быть выполнены одновременно, поскольку они взаимно исключают друг друга. Поэтому общее число способов выбора изделий одного сорта равно =50. Основные комбинаторные формулы. Пусть имеется некоторое множество, содержащее конечное число членов. Например, множество учебных групп в вузе, множество книг на полке, множество населенных пунктов в данной области или, например, множество целых положительных чисел, меньших 0, и т.д. Все элементы такого множества можно пронумеровать, то есть каждому элементу множества поставить в соответствие одно из чисел,, 3,, n; в результате получается некоторая последовательность элементов данного множества. Такие «занумерованные» множества будем называть упорядоченными. Таким образом, упорядоченное множество можно представить в виде некоторой последовательности, что будет использовано в дальнейшем. Очевидно, если в упорядоченном множестве поменять 4

5 местами хотя бы два его элемента, то получим новое упорядоченное множество, которому будет соответствовать новая последовательность элементов данного множества. Будем выбирать из данного n-элементного множества Х r элементов; Эту выборку будем обозначать (n,r). Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными. Если порядок следования элементов в выборке несущественен, то такая выборка называется неупорядоченной. В выборке могут допускаться или не допускаться повторения элементов (считается, что в множестве имеются одинаковые элементы с одним и тем же номером). Упорядоченная (n,r)-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется (n,r)-размещением с повторениями. Если элементы (n,r)-выборки попарно различны, то она называется (n,r)-размещением без повторений или просто (n,r)- размещением. Будем (n,n)-размещения без повторений называть перестановкой множества Х. Неупорядоченная (n,r)-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется (n,r)-сочетанием с повторениями. Если элементы неупорядоченной (n,r)-выборки попарно различны, то она называется (n,r)-сочетанием без повторений или просто сочетанием. Заметим, что любое сочетание можно рассматривать как r-элементное подмножество n- элементного множества. (n,r)-выборка Упорядоченное размещение Неупорядоченной сочетание С повторениями элементов Без повторений С повторениями элементов Без повторений r C n — число сочетаний из n элементов по r: n! C r n =, r!( n r )! n! = 3. n; 0! =. r An — число размещений из n элементов по r: n! A r n =. ( n r )! Р n число перестановок из n элементов: P n = n!. r A n r A n r C n r C n Задача 5. В некоторой газете страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии? Первую фотографию можно поместить на любую из страниц, то есть способами; вторую на любую из оставшихся страниц, то есть способами. Для 5

6 размещения третьей фотографии имеется 0 способов, а для последней 9 способов. По правилу умножения четыре фотографии можно разместить на страницах 0 9=880 способами. Найденное число размещений четырех фотографий на страницах газеты это 4 число A. Действительно, для размещения фотографий следует отобрать 4 различные страницы газеты из имеющихся. Затем необходимо отобранные страницы упорядочить, не обращая внимания на их номера, то есть определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую вторую, и так далее. Полученная упорядоченная совокупность страниц является, согласно определению, размещением из элементов по 4. Ответ: A. 4. Случайные события. Сумма и произведение событий. Определение. Событием называется результат некоторого испытания. События обозначаются: А, В, С и т.д. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате испытания, невозможным, если оно никогда не наступает. Если из того, что произошло событие А, следует, что произошло и В, то говорят, что А влечет В, то есть А В. Если одновременно А В и В А, то события называются равносильными, при этом пишут А=В. Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий А и В, и обозначается А+В или А В. Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в одновременном наступлении двух событий А и В, и обозначается А В или А В. События называются несовместными, если их произведение невозможное событие. Событием, противоположным событию А, называется событие A, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А. Задача. Опыт состоит в том, что стрелок произвел 3 выстрела по мишени. Событие А i попадание в мишень при i выстреле (i=,, 3). Выразить через А, А, А 3 следующие события: А хотя бы одно попадание; В три промаха; С три падания; D хотя бы один промах; Е не меньше двух попаданий; F не больше одного попадания. A = A A + A A + A A + A A + A A + A A + A A B = A A ровнопопадание ровнопопадания ровно3попадания 6

7 C = D = A A A A + A A + A A + ровнопромах A A + A A + A A + E = F = A A + A A + A A + A A + 3промаха ровнопопадания ровнопромаха A A ровно3попадания A A + A A A A + промаха A A ровно3промаха Задача. Опыт состоит в бросании трех монет. Пусть монеты занумерованы и события В, В, В 3 означают в выпадении герба соответственно на,, 3 монетах. Выразите через В, В, В 3 следующие события: А выпадение одного герба и двух цифр; В выпадение не более одного герба; С число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр; D выпадение хотя бы двух гербов; Е на -й монете выпал герб, а на остальных цифры; F на -й монете выпала цифра и хотя бы на одной из остальных выпал герб. 3. Классическое определение вероятности. Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, если игральная кость однородный куб, то выпадение любой из граней этого куба равновозможные события. Пусть достоверное событие U распадается на n равновозможных случаев А, А,, А n (А +А + +А n =U), сумма m из которых дает событие А. Те случаи из А, А,, А n, на которые распадается событие А, называются благоприятствующими появлению события А. Количество благоприятствующих случаев обозначим через m(a). Тогда m ( ) ( A) P A =, где n общее число равновозможных случаев. n Задача. В партии из 0 изделий 4 изделия бракованные. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий 3 изделия окажутся бракованными. А = <3 изделия из 5 выбранных бракованные>. Число возможных способов взять 5 изделий из 0 5 n = C 0 Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа 4 бракованных 3 изделий взято 3 штуки (это можно сделать C 4 способами), а остальные изделия небракованные, то есть они взяты из общего числа 0-4=6 штук (количество способов 3 3 C4 C6 равно C 6 ). Поэтому m = C 4 C6. Искомая вероятность события P( A) = 5. C 0 7

8 Задача. Из букв слова «ротор» наудачу извлекаются три буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор». А = <Получилось слово «тор»>. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: р, р, о, о. Тогда общее число элементарных исходов n равно A 3 = Слово «тор» получается в = 4 случаях (здесь мы воспользовались правилом произведения: букву «т» можно выбрать одним способом, букву «о» двумя способами и букву «р» двумя способами). Искомая вероятность события 4 P ( A ) = = Задача 3. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Как велика вероятность того, что в нем а) все цифры различные? б) все цифры нечетные? а) А = <Все цифры различные>. Так как на каждом из 5 мест в пятизначном номере может стоять любая из цифр 0. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных пятизначных номеров будет 0 5. Номера, у которых все цифры различные это размещения из 0 элементов по 5. Следовательно, 5 m ( A) = A0 = , P ( A) = = 0, б) Из 5 нечетных цифр (, 3, 5, 7, 9) можно образовать 5 5 различных пятизначных 5 номеров. Следовательно m ( B) = 0 : 5 5 P ( B) = = = Теоремы сложения и умножения вероятностей. ) Если события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В). ) Если события А и В совместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) Условная вероятность. Вероятность наступления события В, когда известно, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло и обозначается Р(В/А). Теорема умножения вероятностей. Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В). Если Р(В/А)=Р(В), то события А и В называются независимыми. Если А и В независимые, то Р(АВ)=Р(А)Р(В). 8

9 Задача. В урне 6 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Пусть событие А = <появление белого шара при первом вынимании>, А = <появление белого шара при втором вынимании>, А = <появление двух белых шаров>. А=А А. 6 ( ) ( ) ( ) ( 6 ) P A = P A P A A = = =. 9 ( 9 ) Задача. Монета брошена 3 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно раза. Введем обозначение A i = <выпадение герба при i бросании монеты>, i =,, 3; А = <выпадение двух гербов при 3-х бросаниях монеты>. Тогда A = A A + A A + A A. Так как слагаемые в правой части попарно несовместны, то по правилу сложения имеем P ( A) = P( A A ) + P( A A ) + P( A A ). Если учесть независимость событий А, А, А 3, получим с использованием теоремы умножения вероятностей следующее: P A P A P A P A + P A P A P A + P A P A P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + + =. 8 Задача 3. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка 0,6; для второго 0,7. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадет в мишень. А = <хотя бы один из стрелков попадет в мишень>, A = <Оба стрелка промахнутся>. P ( A ) = ( 0,6) ( 0,7 ) = 0,4 0,3 = 0,, P ( A) = P( A ) = 0, = 0, Формула полной вероятности и формула Байеса. Пусть H, H,, H n полная группа попарно несовместных событий (называемых гипотезами), и пусть А может произойти только с одним из этих событий. Тогда имеет место формула полной вероятности: P n n n i i = ( A) = P( H ) P( A H ) + P( H ) P( A H ) P( H ) P( A H ) = P( H ) P( A H ) n Сумма ( ) = i = P. H i i 9

Другие публикации:  Отличие доли от квартиры

10 Если стало известно, что событие А произошло, то вероятности Р(Н i ) можно переоценить, то есть найти условные вероятности P(H i A). Они находятся по формуле Байеса: P( H i ) P( A H i ) P( H i A) =. P A Задача. В первой урне белых и 3 черных шара, во второй 3 белых и 4 черных. Из каждой урны берется по одному шару и перекладывается в третью урну. Из третьей урны извлекают шар. Какова вероятность того, что он белый? ( ) шар шар шар А = <из третьей урны извлекается белый шар>. Событие А может произойти только с одним из событий Н, Н, Н 3. Н = <в третью урну переложены два белых шара>. Н = <в третью урну переложены один белый, один черный шар>. Н 3 = <в третью урну переложены два черных шара>. Найдем вероятности гипотез. Пусть Б i = <шар, извлеченный из i-й урны, белый>, Ч i = <шар, извлеченный из i-й урны, черный>. 3 6 P( H ) = P < ББ >= = P( H ) = P < БЧ + Б Ч >= + = + = P( H 3 ) = P < Ч Ч >= = i = P ( ) H i =. Найдем условные вероятности P(A H i ): P(A H i )=; P(A H i )=/; P(A H i )= P ( A) = + =

11 Задача. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй 40%, третий 5%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго 80%, третьего 8%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа стандартная. А = <купленная в магазине лампа стандартная>, Н = <лампа с первого завода>, Н = <лампа со второго завода>, Н 3 = <лампа с третьего завода>. Р(Н ) = 0,45; Р(Н ) = 0,4; Р(Н 3 ) = 0,5. Р(А/Н ) = 0,7; Р(А/Н ) = 0,8; Р(А/Н 3 ) = 0,8. P ( A) = 0,45 0,7 + 0,4 0,8 + 0,5 0,8 = 0, Задача 3. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: класс мало рискуют, класс рискуют средне, 3 класс сильно рискуют. Из всех водителей, застраховавших автомобили, 30% принадлежат к классу, 50% — к классу и 0% — к классу 3. Вероятность того, что в течение года водитель класса попадет хотя бы в одну аварию, равна 0,0; для водителя класса вероятность равна 0,0; для водителя третьего класса 0,08. Водитель страхует свою машину и в течение года попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу? К классу? К классу 3? А = <водитель попадает в аварию>. Н = <водитель относится к классу>, Н = <водитель относится к классу>, Н 3 = <водитель относится к 3 классу>. Р(Н ) = 0,3; Р(Н ) = 0,5; Р(Н 3 ) = 0,; Р(А/Н ) = 0,0; Р(А/Н ) = 0,0; Р(А/Н 3 ) = 0,08; P ( A) = 0,3 0,0 + 0,5 0,0 + 0, 0,08 = 0, 09. По формуле Байеса пересчитаем вероятности гипотез, после того, как событие А произошло: 0,3 0,0 P ( H A) = 0, 035 ; 0,09 0,5 0,0 P ( H A) = 0, 3448 ; 0,09 0, 0,08 P ( H 3 A) = 0, ,09

12 6. Формула Бернулли. Рассматривается последовательность независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А одинакова и равна р (условно это событие рассматривается как успех, а его ненаступления ( A ) как неудача, причем p ( A ) = p = q ). Вероятность того, что в n испытаниях успех наступит ровно m раз, обозначим через P n (m). Имеет место формула Бернулли: m m n m Pn ( m) = C n p q. Задача. Что вероятнее выиграть у равносильного противника а) три партии из четырех или пять партий из восьми? б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми? Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны p = q = ½. а) Найдем вероятность выигрыша трех партий из четырех: 3 P 4 ( 3) = C4 = Аналогично, P 8 ( 5) = C8 =. 3 7 Так как >, то вероятнее выиграть три партии из четырех. 4 3 б) Вероятность выиграть не менее 3-хпартий их четырех (обозначим ее R 4 ( 3) ). 5 R 4 ( 3) = P4 ( 3) + P4 ( 4) = + = ; Вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми ( R 8 ( 5) ): 93 R 8 ( 5) = P8 ( 5) + P8 ( 6) + P8 ( 7) + P8 ( 8) = Так как >, то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми Задача. Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из семи посеянных семян взойдут пять? Вероятность всхожести отдельно взятого семени р=0,9; q=-0,9=0,. По формуле Бернулли: P 7 ( 5) = C7 p q = C7 ( 0,9) ( 0, ) = 0, 4. Таким образом, в среднем в 4 случаях из 000 из 7 посеянных семян взойдут 5.

13 7. Дискретные и непрерывные случайные величины. Величина, которая в зависимости от случай принимает различные числовые значения, называется случайной. Обозначаются они буквами Х, У и т.п. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, называется функцией распределения случайной величины Х: F(x)=P(X P < X >= + = / F(x) 3/35 3/35 / X x Задача. Пусть ведется стрельба по цели до первого попадания с конечным запасом «k». Пусть Х число израсходованных патронов до первого попадания. Составить закон распределения случайной величины Х. 4

15 X 3 k- k P p qp q p q k- p q k- p+q k P < X = >= p; P X = = q p < >; P < X = 3>= q p; < >k P X = k = q p. Событие < X = k>означает, что израсходован весь запас патронов. k P < X = k>= q p + q k. Задача 3. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найти закон распределения случайной величины Х числа проб при открывании замка, если испробованный ключ в следующих опробываниях не участвует. Х Р P < X = >= ; 5 4 P < X = >= = ; P < X = 3 >= = ; P < X = 4 >= = ; P < X = 5 >= = Непрерывная случайная величина. Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые числовые значения из некоторого интервала (конечного и бесконечного). Задать ее можно с помощью функции распределения F(x) или плотности распределения f(x) (дифференциальной функции распределения). Дифференциальной P функцией распределения f(x) называется функция ( ) ( x + c dx + b b., то имеем: + 0 dx 0 dx = ; f a ( x) b с(b-a)=, 0, x b. b; 6

22 Ф(х) строго возрастающая ( Ф ( x) > 0 ), нечетная функция; lim Ф( x) = функции приведен на рисунке: Ф(х) x. График х — Значения Ф(х) приведены в таблицах. Если Х нормальная случайная величина, то МХ=а, DX = σ. Связь между функцией распределения нормальной случайной величины F(x) и функцией Лапласа Ф(х) устанавливается по формуле: x a F ( x) = + Ф. σ Из этой формулы вытекает, что P( x X 0. σ Если в последнем равенстве положить ε = 3σ, то получим, что P( X a 0 для любой случайной величины Х, дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева: DX P( X MX 6. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием a = 0. Вероятность попадания X в интервал (0, 0) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания X в интервал (0, 0)? Вариант.. Девять различных книг расставлены на полке наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными вместе.. Литье поступает из двух заготовительных цехов: 70% — из первого и 30% — из второго. При этом продукция первого цеха имеет 0% брака, второго 0%. Найти вероятность того, что наугад взятая болванка без дефектов. 3. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение дня первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7; для второго станка 0,8; для третьего 0,9, и наконец для четвертого 0,85. Найти вероятность того, что в течение для по крайней мере один станок потребует к себе внимания рабочего. 4. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью 0,5. Х число появлений герба. Построить закон распределения Х. Найти М(х), D(х); построить график F(х). 5. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти f(x), математическое ожидание М(х) и дисперсию D(х). Построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения. 0, х F ( x) = ( x x), 6. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a = 5. Вероятность попадания X в интервал (0, 5) равна 0,. Чему равна вероятность попадания X в интервал (35, 40)? Вариант 3.. На скамейку садятся 0 человек. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?. Игральная кость брошена два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков не менее 9? 3. В первой урне 3 белых и черных шара; во второй 3 белых и 4 черных шара. Из каждой урны наудачу извлекают один шар, а затем из этих двух наудачу берут один. Какова вероятность того, что он белый? 4. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения х и х, причем х 6. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a = 0 и средним квадратическим отклонением σ = 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина X в результате испытания. Вариант 4.. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры кратны 3?. рабочих получили путевки в четыре дома: трое в первый, трое во второй, двое в третий и четверо в четвертый. Чему равна вероятность того, что трое рабочих поедут в один дом отдыха? 3. Для контроля продукции из 3-х партий взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии /3 деталей бракованные, а в двух других все доброкачественные? 4. Охотник, имеющий в запасе 5 патронов, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует патроны). Вероятность попадания 0,8. Найти закон распределения числа израсходованных патронов. Найти М(х), D(х). Построить график F(x). 5. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти f(x), математическое ожидание М(х) и дисперсию D(х). Построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения. 0, х 0 F ( x) = 3x + x, 0 6. Случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ = 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания. Вариант 5.. Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Какова вероятность, что среди них окажутся два туза?. Абонент забыл последнюю цифру номера и потому набирает ее наудачу. Найти вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места? 3. В ящике находится 5 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наудачу берутся мяча, которые после игры возвращаются обратно. Для второй 6

27 игры тоже наугад берутся два мяча. Найти вероятность того, что мячи, взятые для второй игры, новые. 4. Построить закон распределения случайной величины Х числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,8. Найти М(х), D(х). Построить график F(x). 5. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти f(x), математическое ожидание М(х) и дисперсию D(х). Построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения. 0, х F ( x) = x, 4 6. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их диаметр X. Считая, что X нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием a = 0 мм и средним квадратическим отклонением σ = 0, мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков. Вариант 6.. Брошены четыре игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков окажется не меньше 3.. Чему равна вероятность того, что при 0 бросаниях игральной кости выпадет хотя бы один раз единица? 3. С первого автомата на сборку поступает 0% деталей, со второго 30% деталей, с третьего 50% деталей. Первый автомат дает 0,% брака, второй 0,3%, третий — 0,% брака. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная. 4. Из партии, насчитывающей 00 изделий, из которых 0 бракованных, выбраны случайным образом 5 для проверки качества. Построить закон распределения числа бракованных изделий, содержащихся в выборке. 5. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти f(x), математическое ожидание М(х) и дисперсию D(х). Построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения. 0, х 0 F ( x) = x /9, 0 3 6. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 3 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 55 мм. 7

Другие публикации:  Материнский капитал в миассе

28 Вариант 7.. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры четные?. В денежно-вещевой лотерее на 000 билетов приходится 4 денежных и 0 вещевых выигрышей. Некто приобрел два билета. Какова вероятность выигрыша а) хотя бы на один билет? б) по первому билету денег, по второму вещей? 3. Стрельба производится по пяти мишеням типа А, трем типа В и двум типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4; типа В 0,; типа С — 0,5. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если неизвестно в мишень какого типа он будет сделан. 4. В урне 7 шаров, из них белых и 5 черных. Из урны наугад выбирают 3 шара. Случайная величина Х число черных шаров в выборке. Построить закон распределения случайной величины Х. Найти М(х), D(х). Построить график F(x). 5. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти f(x), математическое ожидание М(х) и дисперсию D(х). Построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения. 0, х 0 F ( x) = x / 4, 0 6. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 3 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 40 мм. Вариант 8.. Из партии, в которой 3 деталь без дефектов и 6 деталей с дефектами, наудачу берут три. Какова вероятность того, что а) все три детали без дефектов; б) по крайней мере одна деталь без дефектов?. В урне 0 белых, красных и синий шар. Наудачу извлекли 3 шара. Какова вероятность того, что среди них не более белых? 3. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% всех часов, второй 45%, третий 5%. В продукции первого завода спешат 0% часов, второго 0%, третьего 5%. Какова вероятность того, что купленные в магазине часы спешат? 4. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения х и х, причем х π / 6. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 0 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 0 г. Вариант 0.. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 6 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры различны?. В мастерской два мотора работают независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,9; для второго 0,85. Найти вероятность того, что ни один из моторов не потребует внимания мастера. 3. В правом кармане имеются три монеты по 50 копеек и четыре монеты по 0 копеек; в левом шесть по 50 копеек и три по 0 копеек. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются три монеты. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 50 копеек, если монета берется наудачу. 9

30 4. Имеются шесть ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х числа опробованных при открытии замка ключей, если испробованный ключ в дальнейших опробованиях не участвует. 5. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти f(x), математическое ожидание М(х) и дисперсию D(х). Построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения. 0, х F ( x) = x 4 +, 6. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическнм отклонением σ = 0 мм и математическим ожиданием a = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм. Вариант.. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 8; б) сумма 8, а разность 4.. Вероятность занятости первой линии связи 0,3; второй 0,6; третьей 0,. Какова вероятность того, что все три линии свободны. 3. В группе из 0 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены на отлично, 4 — хорошо, — посредственно, — плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 0 вопросов, хорошо подготовленный — на 6, посредственно — на 0, плохо — на 5. Какова вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на 3 произвольно выбранных вопросов. 4. Монета бросается 4 раза. Написать закон распределения вероятностей случайной величины Х — числа выпаданий герба. Найти М(x) и D(x). Построить функцию распределения F(x) и ее график. a 5. При каком значении a функция f ( x) = (- 3 по случайной величины в интервал (; ); плотность распределения вероятности. 6. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется от 40 до 430 (включительно) годных. Вариант 3.. Какова вероятность того, что запись наудачу выбранного двузначного числа не содержит ни одной двойки?. Вероятность правильного соединения при телефонном вызове 0,6. Какова вероятность того, что правильное соединение произойдет только при третьем вызове? 3. В ящике имеется 5 деталей, изготовленных заводом и 0 деталей — заводом. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одну за другой. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная заводом. 4. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа выстрелов, производимых охотником, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти М(x) и D(x). Построить функцию распределения F(x) и ее график. м0, при xј п п 5. Случайная величина задана функцией распределения F ( x) = н ( xпри + ), x Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины. 6. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 4-го размера, равна 0,. Найти вероятность того, что из 750 покупателей не более 0 потребуют обувь этого размера. о 3

32 Вариант 4.. Из 0 билетов выигрышными являются. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов два выигрышных.. В ящике находится 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета. 3. Из ящика, содержащего белых и 3 черных шара, переложено шара в ящик, содержащий 4 белых и 4 черных шара. Вычислить вероятность события достать белый шар из второго ящика. 4. Из большой партии изделий берут на пробу 4 штуки. Вероятность того, что изделие будет дефектным равно 0,. Построить закон распределения вероятностей числа дефектных изделий в пробе из 4 штук. Найти М(x) и D(x). Построить функцию распределения F(x) и ее график. м0, при xј 0 п 5. Случайная величина X задана функцией распределения F ( x) = н xпри, 0x Найти дисперсию X. 6. Всхожесть семян данного растения составляет 90%, Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700. по Вариант 5.. В ящике содержится 00 деталей, из них 0 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных нет бракованных.. В мешочке содержится 0 одинаковых кубиков с номерами с до 0. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно первыми появятся кубики с номерами,, 3, если кубики извлекаются без возвращения. 3. Из 8 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 — с вероятностью 0,7; 4 — с вероятностью 0,6 и — с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. 4. Охотник, имеющий три патрона, стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует все патроны. Считая, что вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8, построить закон распределения для числа израсходованных патронов. Найти М(x) и D(x). Построить функцию распределения F(x) и ее график. 5. Случайная величина X задана функцией распределения F ( x) = 0, при xј x + xпри +, x м п п п п н п п п п по 6. Вероятность получения по лотерее безвыигрышного билета равна 0,. Какова вероятность того, что среди 400 наугад купленных билетов не менее 50 и не более 60 безвыигрышных? 3

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *